3. kvadratsetning

Ta et tall, f.eks. 5. Gang det med seg selv: 5x5 = 25. Tallet 4 er et "hakk" mindre en 5, tallet 6 er et "hakk" større. Multipliser disse med hverandre. Svaret er 24. 4x6 er altså én mindre enn 5x5.

Ta en annet tall: 10. Kvadratet av dette er 100. Tallene over og under er 11 og 9. Produktet av dem er 9x11 = 99, altså en mindre enn 10x10.

Ta et tredje tall: 1000. Kvadratet er, en million. Produktet av 1001x999 =, igjen en mindre.

Slik er det hele veien uansett hvilket en tall en velger. Produktet av tallene som ligger 1 over og 1 under tallet man kvadrerer er 1 mindre enn kvadratet. 3. kvadratsetning gjelder selvfølgelig alltid (a-1)(a+1) = (a2 -1) (Beklager plasseringen av 2-tallet).

Slik kan man imponere i selskapslivet. Alle vet at 80x80 = 6400. Men hva er 79x81? Jo, etter regelen over 6399! Og 91x89 er selvfølgelig 8099.

En kan også ta tall som ligger 2 over og under. 5x5= 25. 7x3=21. Her er altså produktet 4 mindre enn kvadratet. 78x82 blir dermed 6396. (a+2)(a-2) = a2-4.

Tall som ligger 3 fra gir en forskjell på 9 fra kvadratet 5x5=25. 2x8= 16. Differansen mellom 25 og 16 er 9. 93x87 blir dermed 8091. (a+3)(a-3) = a2-9.

Som en ser blir differansen mellom kvadratet (25) og produktet (24, 21, 16) lik kvadratet av avstanden fra det opprinnelige tallet 1x1=1, 2x2=4, 3x3=9 som gir 25-1=24, 25-4=21, 25-9=16.

Dermed vil rekken fortsette med 16 mindre enn kvadratet av det første tallet som vi kan kalle a (a x a - 4x4), deretter 25 (a x a - 5x5) og så videre. 99x81 må dermed bli 8019 (som er svaret på regnestykket).

Legg også merke til en annen sak. Forskjellene mellom de kvadrerte tallene vi trekker fra den kvadrerte a, ligger på en nydelig aritmetisk rekke av oddetall som øker med 2!

1..4..9..16..25....36...49..64....81..100
..3..5..7...9....11....13...15....17...19
Det er mye pent i matematikken!